在数学中，单李代数是除了零和本身之外没有其它理想的李代数。半单李代数是指能表为单李代数的直和的李代数。若一个李代数能表为半单李代数与阿贝尔李代数的直和，则称之为约化李代数。半单李代数与约化李代数是李代数研究中的主要对象。
设
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
为李代数，其半单性有下述刻划：
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
能表为单李代数之直和。
Killing 形式
B
(
x
,
y
)
:=
T
r
(
a
d
X
a
d
Y
)
{\displaystyle B(x,y):=\mathrm {Tr} (\mathrm {ad} X\,\mathrm {ad} Y)}
非退化。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
没有非零的阿贝尔理想。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
没有非零的可解理想。
r
a
d
(
g
)
=
(
0
)
{\displaystyle \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})=(0)}
此外，若
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
定义在零特征的域上，则可追加一项
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
半单若且唯若每个
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
的表示都是完全可约的。
半单李代数的另一个重要性质是
[
g
,
g
]
=
g
{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}}
，其逆未必成立。
文献[编辑]
Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9
参见[编辑]
半单
单李群
半单李群
约化群